O mais simples e direto é começarmos por cambiar / câmbio.
[1] No aeroporto foi preciso cambiarmos reais por euros.
No uso comum cambiar é ‘comprar moeda estrangeira’.
Em economia fala-se da taxa de câmbio, de que vos poupo a definição.
Cambiar / câmbio tem portanto um sentido muito restrito: designa uma operação bancária.

Mudar é sinónimo de ‘modificar’, ‘transformar’ ou ‘alterar’:
[4] Resolveram mudarde estratégia [de planos, de costumes, de vida] .
[5] A situação mudou para melhor.
[6] Ele não muda, é sempre o mesmo.
[7] Mudam-se os tempos, mudam-se as vontades.

Quando tiramos uma roupa para vestir outra dizemos também mudar:
[8] Mudou de roupa para ir à praia.

O substantivo derivado é mudança (= alteração):
[9] Houve mudança de planos.

Trocar usa-se no sentido geral de ‘dar uma cousa por outra’, ‘substituir’:
[10] Foi à loja trocar a saia.
[11] Estivemos a conversar, a trocar ideias e impressões.

O substantivo é troca / troco:
[12] Fizeram uma troca de reféns.
[13] ] As trocas comerciais entre esses dous países têm vindo a aumentar.
[14] Deu tudo sem pedir nada em troca.

Quando trocamos dinheiro damos uma moeda maior por outra miúda:
[15] Podia trocar-me esta nota de 50 euros?
[16] Sinto, mas não tenho trocado (= trocos).

Por vezes usamos trocar no sentido de ‘alterar’ e então é sinónimo de mudar, mas trocar vinca mais a ideia de ‘confusão’ ou ‘perturbação’:
[17] Os tempos andam trocados (= mudados, alterados).

Notemos ainda as locuções sinónimas a troco de / em troca de (= como contrapartida, em compensação):
[18] O refém foi libertado a troco de / em troca de dinheiro.
[19] Deu-lhe ajuda em troca de favores.

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